在Ellipsis中考虑岩石圈和地幔为粘-弹-塑性的不可压缩的麦克斯维尔体。其应变率包含弹性与粘性两个部分。
应变率可以表示为：

$$\dot{\varepsilon\_{ij}}=\frac{1}{2G}\dot{s\_{ij}}+\frac{1}{2\eta}s\_{ij}$$

其中\(\dot{\varepsilon_{ij}}\),\(\dot{s_{ij}}\),\(s_{ij}\),以及G和\(\eta\)分别代表应变率，偏应力随时间变化，偏应力，剪切模量以及粘滞度。

非牛顿体模型中剪切应力与剪切应变率之间呈非线性关系。即：

$$\varepsilon=A\tau^n$$

其中\(\varepsilon\)是应变率，\(\tau\)是偏应力，A是与颗粒大小及含水量相关系数，指数n为3左右。当n=1时变为牛顿流体。因此我们在Ellipsis中参数设置n时一般为3.05或3.5。
这个参数同样也影响着粘滞度结构：

$$\eta=\eta\_0({\frac{\dot{\varepsilon}\_{\Pi}}{\dot{\varepsilon\_0}}})^{\left( \frac{1}{n}-1 \right)}exp[\frac{E}{nR}(\frac{1}{T}-\frac{1}{T\_0})]$$

这里面\(\dot{\varepsilon_0}\)是参考应变率，在地球动力学的一些文献中一般为\(10^{-15}s^{-1}\)。E为活化能，R为气体常数。在软件中我们经过无量纲化 后输入相应的值。

在考虑弹性形变时要考虑物质的屈服应力。在Drucker_Prager屈服模型中：

$$\tau_y=\mu P+C$$

\(\tau_y\),\(\mu\),P和 C 分别是屈服应力，摩擦系数，压力和内聚力。内聚力指在无正压力作用下材料的强度。因此我们可以看出这几个参数与材料的强度成正比关系。这都是在软件中调整材料软硬的重要指标。值得注意的是，当增加\(\mu\)时，由于在地球尺度下P的值可以达到十几的数量级，因此当改变摩擦系数时对于材料强度的改变是非常巨大的。一般在调整时我们选择对内聚力以及参考应变率等进行调整。

其次，内聚力和摩擦系数也由下面两个公式决定。

$$\mu=\mu_0[1-min(1,\frac{\varepsilon\_p}{\varepsilon\_f})]$$ $$C=C\_f+(C\_0-C\_f)[1-min(1,\frac{\varepsilon\_p}{\varepsilon\_f})]$$

这里面要强调的是\(\varepsilon_f\)这个参数，当参考应变率越大时，会影响\(\mu\)和C变大，因此也会影响材料的强度变强。

这是几个目前我认为的比较值得注意的参数，了解这几个参数对于学习Ellipsis程序比较有用。

Reference

• Leng, W., and M. Gurnis (2011),Dynamics of subduction initiation with different evolutionary pathways,Geochem.Geophys.Geosyst.

在写文章时的一点想法
GitHub上并不支持LaTex语言，因此所有直接输入的LaTex公式都不能直接显示，因此要借助codecogs等的云服务来在线生成公式。目前内心毫无波动……
此外，即使你用云服务器生成的公式图片也只能单独一行显示。毫无波动到无法呼吸。因此只能换成MathJax引擎渲染。但是！还要注意每行不能出现超过一个下划线，因此当出现超过一个下划线是要用转义字符,内心再一次毫无波动……